1、過橋問題（1）1. 一列火車經過南京長江大橋，大橋長6700米，這列火車長140米，火車每分鐘行400米，這列火車通過長江大橋需要多少分鐘？ 分析：這道題求的是通過時間。

【資料圖】

2、根據數量關系式，我們知道要想求通過時間，就要知道路程和速度。

3、路程是用橋長加上車長。

4、火車的速度是已知條件。

5、 總路程： （米） 通過時間： （分鐘） 答：這列火車通過長江大橋需要17.1分鐘。

6、 2. 一列火車長200米，全車通過長700米的橋需要30秒鐘，這列火車每秒行多少米？ 分析與解答：這是一道求車速的過橋問題。

7、我們知道，要想求車速，我們就要知道路程和通過時間這兩個條件。

8、可以用已知條件橋長和車長求出路程，通過時間也是已知條件，所以車速可以很方便求出。

9、 總路程： （米） 火車速度： （米） 答：這列火車每秒行30米。

10、 3. 一列火車長240米，這列火車每秒行15米，從車頭進山洞到全車出山洞共用20秒，山洞長多少米？ 分析與解答：火車過山洞和火車過橋的思路是一樣的。

11、火車頭進山洞就相當于火車頭上橋；全車出洞就相當于車尾下橋。

12、這道題求山洞的長度也就相當于求橋長，我們就必須知道總路程和車長，車長是已知條件，那么我們就要利用題中所給的車速和通過時間求出總路程。

13、 總路程： 山洞長： （米）答：這個山洞長60米。

14、和倍問題1. 秦奮和媽媽的年齡加在一起是40歲，媽媽的年齡是秦奮年齡的4倍，問秦奮和媽媽各是多少歲？我們把秦奮的年齡作為1倍，“媽媽的年齡是秦奮的4倍”，這樣秦奮和媽媽年齡的和就相當于秦奮年齡的5倍是40歲，也就是（4＋1）倍，也可以理解為5份是40歲，那么求1倍是多少，接著再求4倍是多少？（1）秦奮和媽媽年齡倍數和是：4＋1＝5（倍） （2）秦奮的年齡：40÷5＝8歲 （3）媽媽的年齡：8×4＝32歲 綜合：40÷（4＋1）＝8歲 8×4＝32歲 為了保證此題的正確，驗證 （1）8＋32＝40歲 （2）32÷8＝4（倍）計算結果符合條件，所以解題正確。

15、2. 甲乙兩架飛機同時從機場向相反方向飛行，3小時共飛行3600千米，甲的速度是乙的2倍，求它們的速度各是多少？已知兩架飛機3小時共飛行3600千米，就可以求出兩架飛機每小時飛行的航程，也就是兩架飛機的速度和。

16、看圖可知，這個速度和相當于乙飛機速度的3倍，這樣就可以求出乙飛機的速度，再根據乙飛機的速度求出甲飛機的速度。

17、甲乙飛機的速度分別每小時行800千米、400千米。

18、3. 弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？思考：（1）哥哥在給弟弟課外書前后，題目中不變的數量是什么？ （2）要想求哥哥給弟弟多少本課外書，需要知道什么條件？ （3）如果把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時（哥哥給弟弟課外書后）弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的幾倍？ 思考以上幾個問題的基礎上，再求哥哥應該給弟弟多少本課外書。

19、根據條件需要先求出哥哥剩下多少本課外書。

20、如果我們把哥哥剩下的課外書看作1倍，那么這時弟弟的課外書可看作是哥哥剩下的課外書的2倍，也就是兄弟倆共有的倍數相當于哥哥剩下的課外書的3倍，而兄弟倆人課外書的總數始終是不變的數量。

21、 （1）兄弟倆共有課外書的數量是20＋25＝45。

22、 （2）哥哥給弟弟若干本課外書后，兄弟倆共有的倍數是2＋1＝3。

23、 （3）哥哥剩下的課外書的本數是45÷3＝15。

24、 （4）哥哥給弟弟課外書的本數是25－15＝10。

25、 試著列出綜合算式：4. 甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙庫運進10噸，這時甲庫存糧是乙庫存糧的2倍，兩個糧庫原來各存糧多少噸？根據甲乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙庫運進10噸，可求出這時甲、乙兩庫共存糧多少噸。

26、根據“這時甲庫存糧是乙庫存糧的2倍”，如果這時把乙庫存糧作為1倍，那么甲、乙庫所存糧就相當于乙存糧的3倍。

27、于是求出這時乙庫存糧多少噸，進而可求出乙庫原來存糧多少噸。

28、最后就可求出甲庫原來存糧多少噸。

29、 甲庫原存糧130噸，乙庫原存糧40噸。

30、列方程組解應用題（一）1. 用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個，或制盒底43個，一個盒身和兩個盒底配成一個罐頭盒，現有150張鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，才能使盒身與盒底正好配套？依據題意可知這個題有兩個未知量，一個是制盒身的鐵皮張數，一個是制盒底的鐵皮張數，這樣就可以用兩個未知數表示，要求出這兩個未知數，就要從題目中找出兩個等量關系，列出兩個方程，組在一起，就是方程組。

31、 兩個等量關系是：A做盒身張數+做盒底的張數=鐵皮總張數 B制出的盒身數×2=制出的盒底數用86張白鐵皮做盒身，64張白鐵皮做盒底。

32、奇數與偶數（一）其實，在日常生活中同學們就已經接觸了很多的奇數、偶數。

33、 凡是能被2整除的數叫偶數，大于零的偶數又叫雙數；凡是不能被2整除的數叫奇數，大于零的奇數又叫單數。

34、 因為偶數是2的倍數，所以通常用 這個式子來表示偶數（這里 是整數）。

35、因為任何奇數除以2其余數都是1，所以通常用式子 來表示奇數（這里 是整數）。

36、 奇數和偶數有許多性質，常用的有： 性質1 兩個偶數的和或者差仍然是偶數。

37、 例如：8+4=12，8-4=4等。

38、 兩個奇數的和或差也是偶數。

39、 例如：9+3=12，9-3=6等。

40、 奇數與偶數的和或差是奇數。

41、 例如：9+4=13，9-4=5等。

42、 單數個奇數的和是奇，雙數個奇數的和是偶數，幾個偶數的和仍是偶數。

43、 性質2 奇數與奇數的積是奇數。

44、 偶數與整數的積是偶數。

45、 性質3 任何一個奇數一定不等于任何一個偶數。

46、1. 有5張撲克牌，畫面向上。

47、小明每次翻轉其中的4張，那么，他能在翻動若干次后，使5張牌的畫面都向下嗎？同學們可以試驗一下，只有將一張牌翻動奇數次，才能使它的畫面由向上變為向下。

48、要想使5張牌的畫面都向下，那么每張牌都要翻動奇數次。

49、 5個奇數的和是奇數，所以翻動的總張數為奇數時才能使5張牌的牌面都向下。

50、而小明每次翻動4張，不管翻多少次，翻動的總張數都是偶數。

51、 所以無論他翻動多少次，都不能使5張牌畫面都向下。

52、2. 甲盒中放有180個白色圍棋子和181個黑色圍棋子，乙盒中放有181個白色圍棋子，李平每次任意從甲盒中摸出兩個棋子，如果兩個棋子同色，他就從乙盒中拿出一個白子放入甲盒；如果兩個棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。

53、那么他拿多少后，甲盒中只剩下一個棋子，這個棋子是什么顏色的？不論李平從甲盒中拿出兩個什么樣的棋子，他總會把一個棋子放入甲盒。

54、所以他每拿一次，甲盒子中的棋子數就減少一個，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一個棋子。

55、 如果他拿出的是兩個黑子，那么甲盒中的黑子數就減少兩個。

56、否則甲盒子中的黑子數不變。

57、也就是說，李平每次從甲盒子拿出的黑子數都是偶數。

58、由于181是奇數，奇數減偶數等于奇數。

59、所以，甲盒中剩下的黑子數應是奇數，而不大于1的奇數只有1，所以甲盒里剩下的一個棋子應該是黑子。

60、 奧賽專題 -- 稱球問題例1 有4堆外表上一樣的球，每堆4個。

61、已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。

62、解 ：依次從第一、二、三、四堆球中，各取2、3、4個球，這10個球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。

63、2 有27個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，重量比正品輕，請你用天平只稱三次（不用砝碼），把次品球找出來。

64、解 ：第一次：把27個球分為三堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。

65、若天平不平衡，可找到較輕的一堆；若天平平衡，則剩下來稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中。

66、 第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分成三堆，每堆3個球，按上法稱其中兩堆，又可找出次品在其中較輕的那一堆。

67、 第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個球中取出2個稱一次，若天平不平衡，則較輕的就是次品，若天平平衡，則剩下一個未稱的就是次品。

68、例3 把10個外表上一樣的球，其中只有一個是次品，請你用天平只稱三次，把次品找出來。

69、解：把10個球分成3個、3個、3個、1個四組，將四組球及其重量分別用A、B、C、D表示。

70、把A、B兩組分別放在天平的兩個盤上去稱，則 （1）若A=B，則A、B中都是正品，再稱B、C。

71、如B=C，顯然D中的那個球是次品；如B＞C，則次品在C中且次品比正品輕，再在C中取出2個球來稱，便可得出結論。

72、如B＜C，仿照B＞C的情況也可得出結論。

73、 （2）若A＞B，則C、D中都是正品，再稱B、C，則有B=C，或B＜C（B＞C不可能，為什么？）如B=C，則次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2個球來稱，便可得出結論；如B＜C，仿前也可得出結論。

74、 （3）若A＜B，類似于A＞B的情況，可分析得出結論。

75、奧賽專題 -- 抽屜原理【例1】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過生日。

76、為什么？【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。

77、如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學在同一個月過生日。

78、 【例 2】任意4個自然數，其中至少有兩個數的差是3的倍數。

79、這是為什么？【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規律：如果兩個自然數除以3的余數相同，那么這兩個自然數的差是3的倍數。

80、而任何一個自然數被3除的余數，或者是0，或者是1，或者是2，根據這三種情況，可以把自然數分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。

81、我們把4個數看作“蘋果”，根據抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數。

82、換句話說，4個自然數分成3類，至少有兩個是同一類。

83、既然是同一類，那么這兩個數被3除的余數就一定相同。

84、所以，任意4個自然數，至少有2個自然數的差是3的倍數。

85、【例3】有規格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？ 【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。